Thalès — Approfondir la preuve de parallélisme et déjouer les pièges

Mathématiques · 3e · Difficulté 3/4 · Durée indicative : 45 minutes

• Choisir entre le théorème de Thalès, sa réciproque et un raisonnement par contradiction pour exclure un parallélisme.
• Contrôler les positions des points, même lorsque les rapports sont égaux.
• Construire une démonstration exacte et examiner un raisonnement proposé.

Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. Les schémas à main levée ne constituent pas des preuves. Présenter les calculs exacts et justifier chaque conclusion géométrique.

Parcours différencié : chercher d'abord sans aide. Les coups de pouce placés à la fin sont facultatifs. Les questions de réflexion font partie du parcours approfondi.

Dans le triangle ABC, M appartient à [AB] et N appartient à [AC].

Données : AB = 12 ; AC = 15 ; AM = 7,2 ; NC = 6 ; BC = 10.

1. Réaliser un schéma, puis démontrer que (MN) est parallèle à (BC).
2. Calculer MN et le périmètre du triangle AMN. Préciser quel théorème intervient après la preuve du parallélisme.
3. Réflexion : un élève propose de comparer MB/AB et NC/AC plutôt que AM/AB et AN/AC. Cette démarche peut-elle conduire à une preuve ? Justifier en expliquant le passage aux rapports issus de A.

Deux droites distinctes se coupent en O. Les points sont placés dans l'ordre A, O, B sur la première et C, O, D sur la seconde.

Données : OA = 4 ; OB = 7 ; CD = 16,5 ; OD = 10,5.

1. Faire un schéma respectant les ordres indiqués, puis démontrer que (AC) et (BD) sont parallèles.
2. On donne aussi AC = 5. Calculer BD.
3. Lina écrit : « OA/OB ≈ 0,57 et OC/OD ≈ 0,57, donc les droites sont parallèles. » Expliquer pourquoi cette justification est insuffisante, puis la remplacer par une comparaison exacte.
4. Réflexion : si OD valait 10,6, les autres données initiales restant inchangées, les droites (AC) et (BD) seraient-elles encore parallèles ? Justifier.

Dans le triangle ABC, AB = 14 et AC = 21. Le point N appartient à [AC] et CN = 9. Le point M est mobile sur [AB]. On note x la longueur AM, en centimètres, avec 0 < x < 14.

1. Déterminer la seule valeur possible de x si l'on veut que (MN) soit parallèle à (BC).
2. Vérifier que cette valeur permet effectivement d'obtenir le parallélisme. Pourquoi cette vérification complète-t-elle le raisonnement précédent ?
3. Pour AM = 8,1, démontrer que (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
4. Réflexion : un dessin réalisé avec AM = 8,1 peut sembler présenter des droites parallèles. Pourquoi cela ne contredit-il pas la réponse précédente ?

Deux droites distinctes se coupent en A. Les points sont placés dans l'ordre A, M, B sur la première et N, A, C sur la seconde.

Données : AM = 3 ; AB = 6 ; AN = 4 ; AC = 8.

1. Un élève affirme : « AM/AB = AN/AC = 1/2, donc (MN) est parallèle à (BC). » Identifier précisément la condition qu'il n'a pas vérifiée.
2. Placer P, milieu de [AC]. Démontrer que (MP) est parallèle à (BC).
3. À l'aide de l'unicité de la parallèle à une droite passant par un point, démontrer que (MN) n'est pas parallèle à (BC).
4. Bilan : rédiger une phrase expliquant pourquoi l'égalité de deux rapports de longueurs ne suffit pas toujours à établir un parallélisme.

• Exercice 1 : calculer AN. Pour la réflexion, utiliser AM = AB − MB et AN = AC − NC.
• Exercice 2 : O appartient à [CD], donc CD = CO + OD. Pour comparer deux fractions, utiliser les produits en croix.
• Exercice 3 : commencer par supposer les droites parallèles pour obtenir une équation. Ensuite, vérifier la réciproque.
• Exercice 4 : M et B sont du même côté de A, mais N et C ne le sont pas. Comparer les droites (MN) et (MP).

• J'ai vérifié les alignements et les positions relatives des points.
• J'ai comparé des longueurs correspondantes sans arrondir.
• J'ai distingué le théorème direct de sa réciproque.
• Pour exclure un parallélisme, j'ai expliqué quelle égalité serait nécessaire.
• J'ai répondu aux questions de réflexion avec des arguments, pas seulement avec des calculs.